Определены необходимые и достаточные условия сглаживания истокообразных функций многих переменных на хаотической сетке. Для функциональных пространств Никольского - Бесова и Лизоркина - Трибеля смешанной гладкости получены характеризации через представления целых функций экспоненциального типа, сверток и максимальных функций Петрэ. Для других функциональных пространств смешанной гладкости получены различные эквивалентные нормировки, а также атомарные представления элементов. Найдены оценки порядка точности квадратурных формул для положительных функционалов на антипериодических ЕТ-системах. Доказаны существование и единственность гауссовых квадратур на данных системах.