Для одного класса операторов дробного интегрирования установлены критерии ограниченности в весовых пространствах Лебега, при этом вес пространства, из которого действует интегральный оператор, связан с его ядром. Найдены необходимые и достаточные условия наличия весовой оценки типа Харди для интегральных операторов с логарифмической особенностью. Рассмотрена задача с начальными данными в особой точке обыкновенных дифференциальных уравнений, определены условия существования и единственности её решений. Показано, что в случае нелокальных по времени задач для уравнения теплопроводности классы единственности решений существенно отличаются от классов единственности А.Н. Тихонова для задачи Коши. Найденный класс единственности характеризуется минимумом из реальных частей квадратного корня из собственных значений оператора дифференцирования, возникающего после разделения переменных. Для системы из экспонент в функциональном пространстве построена конструктивная биортогональная система. Доказана теорема о разложении.