Методами метрической теории функций и функционального анализа получены неравенства между наилучшими приближениями в разных метриках пространства Лоренца. Доказана теорема типа Харди - Литтлвуда для рядов Фурье - Прайса с квазимонотонными коэффициентами в пространстве Лоренца. Определены условия принадлежности функции пространству Бесова по базису Прайса в терминах функций ограниченной средней осцилляции. Даны оценки невозрастающей перестановки функций многих переменных через модули гладкости, порядка приближения классов Никольского, Бесова в метрике анизотропного пространства Лоренца, порядка m-членного приближения класса Бесова в метрике пространства Лоренца, ортопоперечника класса Никольского в пространстве Марцинкевича с анизотропной метрикой. Выведено условие абсолютной суммируемости кратного тригонометрического ряда, учитывающее различные скорости стремления к нулю его коэффициентов по каждому направлению.