Доказаны существование и единственность решения в пространствах Гельдера нелинейной краевой двухфазной задачи со свободной границей для системы параболических уравнений в областях произвольной конфигурации локально по времени, получены коэрцитивные оценки решения. Установлена однозначная разрешимость в весовых пространствах Гельдера решений сингулярно возмущенной задачи со свободной границей с непостоянной температурой плавления. Построена математическая модель фазовых переходов и фильтрационных процессов, и обоснован метод ее численного решения. Результаты могут быть применены в конструктивной теории функций, численном анализе и вычислительной математике.