Изучены краевые задачи для параболических уравнений в областях со свободно движущимися границами, вырождающимися в начальный момент времени. Разработаны математические модели динамического отброса электрических контактов при токах короткого замыкания, вибрации электрических контактов при их замыкании, упругого замыкания электрических контактов, динамического кольцеобразного сваривания замкнутых электрических контактов. Найдено точное решение нелинейной системы уравнений в частных производных, описывающих квазистационарные поля температуры и электрического потенциала в замкнутых однородных и разнородных электрических контактах при нелинейной зависимости коэффициентов теплопроводности и удельного электросопротивления от температуры. Построена математическая модель задачи теплопроводности в вырождающихся областях с двумя свободными границами фазового перехода. Для второй краевой задачи осесимметричного тела с переменным сечением построены потенциалы простого слоя и объемный.