ограниченность операторов дробного интегрирования в весовых пространствах Лебега с переменными верхним, нижним пределами, включающие классические операторы Римана-Лиувилля, Вейля; нахождение критерия компактности данных операторов с переменными пределами, Харди-Стеклова в весовых пространствах Лебега; нахождение критерия выполнения весовых оценок линейного, квазилинейного интегральных операторов дробного интегрирования с порядком меньше единицы, включающие операторы Хольмгрена, Ердей-Кобера, Адамара, типа Харди в весовых пространствах Лебега, при допустимых соотношениях параметров пространств; установление необходимых и достаточных условий выполнения весовых неравенств для линейных, квазилинейных интегральных операторов дробного интегрирования с переменными пределами на конусе монотонных функций, при различных значениях параметров пространств; установлены необходимые и достаточные условия ограниченности, компактности интегральных операторов со степенью, логарифмической особенностью; получены критерии выполнения билинейного неравенства для операторов дробного интегрирования имеющих ядра со слабыми особенностями, которых как следствия найдены критерии выполнения билинейных неравенств для операторов Римана-Ливиулля, Адамара, Эрдейи-Кобера; доказано существование ограниченного обратного оператора и найдено условие обеспечивающее компактность резольвенты для дифференциального оператора смешанного типа с быстро колеблющимися и сильно растущими коэффициентами на бесконечности.