Полученные результаты. 1) Построены функции Грина и получены оценки функций Грина краевых задач с инволюцией с постоянными коэффициентами и возмущенными краевыми условиями типа Неймана, с возмущенными краевыми условиями периодического и антипериодического типов; изучены спектральные свойства задачи Коши для дифференциального оператора с инволюцией вида при . Проведен детальный анализ спектра изучаемой задачи. Построена функция Грина задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией. Получены равномерные оценки функции Грина. На основании анализа спектра и построенной функции Грина показано, что если параметр иррационален, то система корневых функций полна, но не является базисом в . В противном же случае установлено, что корневые функции могут быть выбраны так, чтобы они образовывали безусловный базис в пространстве . 2) установлены достаточные условия равносходимости разложений произвольной функции из класса по собственным функциям изучаемых краевых задач с инволюцией в терминах краевых условий; 3) получены условия базисности и безусловной базисности в пространстве собственных функций изучаемых краевых задач с инволюцией в терминах краевых условий; 4) доказаны теоремы о существовании и единственности решений смешанных задач для возмущенного уравнения теплопроводности, для возмущенного волнового уравнения и уравнения Лапласа с инволюцией с переменными коэффициентами.