Для спектральной задачи для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с кусочно-постоянным коэффициентом при старшей производной проведено исследование базисности корневых векторов для уравнения без младших коэффициентов при усиленно регулярных краевых условиях и при неусиленно регулярных краевых условиях Обосновано решение методом разделения переменных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности при усиленно регулярных краевых условиях общего вида и при неусиленно регулярных краевых условиях общего вида, когда система корневых функций (возникающая при методе разделения переменных) образует безусловный базис Обосновано решение обратной задачи по восстановлению источника для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности при краевых условиях типа Штурма (разделенные краевые условия) Обосновано решение обратной задачи по восстановлению источника для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности при усиленно регулярных краевых условиях общего вида Построена неявная разностная схема для начально-краевых задач для уравнения теплопроводности при неусиленно регулярных краевых условиях общего вида и исследована ее устойчивость Проведено исследование решений начально-краевых задач для уравнения теплопроводности при краевых условиях типа Штурма (разделенные краевые условия) в случае отсутствия согласования начальных и граничных данных