Получен некоммутативный аналог классической теоремы Бойда об ограниченности преобразования Гильберта в симметричных пространствах для операторов треугольного усечения в соответствующих симметричных операторных пространствах; Исследованы определения оптимальной области значения и области определения для классического преобразования Гильберта и обобщение этих результатов на некоммутативный случай; Получены приложения этих результатов к теории интерполяции операторов, двойных операторных интегралов и некоммутативных симметрических пространств измеримых операторов; Полностью дан ответ на многолетнюю проблему Бойда об оптимальной области значения для классического преобразования Гильберта с тривиальными индексами Бойда, а также получить некоммутативный аналог этих результатов. Более того, мы показали применение этих задач к теории Липшицово непрерывности и коммутаторных оценок.