Найдены необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для неоднородного бигармонического и полигармонического уравнений в шаре, причем условия разрешимости сформулированы в терминах заданных функций. Выявлено влияние младших членов на разрешимость краевых задач для эллиптических уравнений высокого порядка. Изучена разрешимость эллиптических уравнений высокого порядка на бесконечной области. Вычислена размерность пространств решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа и для бигармонического уравнения с дополнительным условием на бесконечности. На основе специального метода разложения фундаментального решения в явном виде построена функция Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре (стандартная область) без ограничений на число пространственных переменных и порядок уравнения.