Изучены ранее не рассмотренные и важные в практике классов задач для дифференциальных уравнений дробного порядка на предмет корректной разрешимости, в разработке новых методов построения решения этих уравнений, в исследовании гладкости решений краевых задач и их свойств в зависимости от порядка граничных операторов. Разработан новый операторный метод построения решения дифференциальных уравнений дробного порядка, основанный на построении нормированных систем. Установлена корректность разрешимости аналогов начальных, начально-краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка обобщающих классическое уравнение теплопроводности. Изучены вопросы разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений диффузии дробного порядка, а также исследованы краевые задачи с граничными операторами дробного порядка для уравнений эллиптического типа. Сформулированы и исследованы на однозначную разрешимость класс краевых задач со специальными условиями склеивания для параболо-гиперболических уравнений дробного порядка.