В весовом классе существенно ограниченных функций установлено существование единственного нетривиального решения уравнения теплопроводности в области со степенным вырождением и с однородными граничными условиями Дирихле. Решена задача стабилизации для нагруженного по одно-мерным многообразиям уравнения теплопроводности. Найдены собственные и присоединенные функции и собственные значения для нагруженного по одномерным многообразиям двухмерного оператора Лапласа. Построены биортогональные системы функций. Определены весовые неравенства типа Харди и критерии сопряженности и осцилляторности линейного дифференциального уравнения Штурма - Лиувилля. Предложен алгоритм решения некорректной задачи стационарной теплопроводности для бигармонического уравнения в прямоугольной области.