Введено понятие преобразования Фурье связанного с оператором L, развита теория псевдо-дифференциальных операторов порожденных оператором L. Для оператора L, построены свое преобразование Фурье и свертка названные, соответственно, L-преобразованием Фурье и L-сверткой. Описаны некоторые свойства L-преобразования Фурье и L-свертки. Получена формула для квантизации псевдо-дифференциальных операторов, индуцированных краевой задачей L. Описаны пространства L-пробных функций, p- лебеговые пространства коэффициентов Фурье. Исследованы функциональные пространства Соболева связанные с оператором L. Установлено тождество Планшереля для пространств. Также выбрана алгебра L-псевдо-дифференциальных операторов.