Рассмотрено решение ряда актуальных задач теории обратных задач и математической физики геометрическими методами. Доказана связь между собственными функциями операторов и собственными функциями обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов ранга два. Построены коммутирующие пары операторов третьего и четвертого порядков от двух переменных, отвечающих гиперэллиптическим спектральным кривым. Найден аналог преобразования Мутара для двумерного оператора Дирака с комплекснозначным потенциалом, отвечающего инверсии поверхностей в 4-мерном евклидовом пространстве. Построены и исследованы решения модифицированного уравнения Веселова-Новикова, отвечающие поверхностям Эннепера больших порядков и другим классическим минимальным поверхностям. Исследованы, в частности, на интегрируемость, геодезические потоки инвариантных метрик Карно-Каратеодори с двумерными инвариантными распределениями.