Исследованы новые корректные постановки краевых задач для эллиптических уравнений. В классе гладких функций строятся взаимно обратные интегро-дифференциальные операторы. Используя свойства этих операторов, рассматриваемые краевые задач сводятся к задаче Дирихле. Используя явный вид функции Грина задачи Дирихле, находятся необходимые и достаточные условия разрешимости изучаемых задач. В классе гладких в шаре функций введены специальные интегро-дифференциальные операторы дробного порядка связанные с производными Миллера-Росса и Адамара. Исследованы свойства интегро-дифференциальных операторов дробного порядка. Проведена классификация корректных постановок краевых задач для эллиптических уравнений с граничными операторами дробного порядка. Для неоднородного полигармонического уравнения изучены ряд аналогов задач Дирихле и Неймана. Доказаны теоремы о фредгольмовости исследуемых задач. Рассмотрена задача на собственные значение оператора Коши-Римана с однородными краевыми условиями типа задачи Дирихле. Установлено условие нетеровости.