Исследованы развитие теории функциональных пространств переменной гладкости, аппроксимативные свойства и поперечники функциональных компактов переменной гладкости. Построены и исследованы методы приближенного восстановления классов операторов на этих функциональных компактах. Найден порядок приближения классов Никольского, Бесова тригонометрическими полиномами и М-членного приближения в пространстве со смешанной нормой. Установлены точные в смысле порядка оценки наилучших N-членных приближений функций из классов типа Никольского-Бесова и Лизоркина-Трибеля по кратной системе всплесков Мейера в метрике. Изучены приближение функций и восстановление операторов на классах Никольского-Бесова и Лизоркина-Трибеля периодических функций смешанной гладкости частными суммами из ряда Фурье по безусловному базису всплесков.*