Проведено К(В)П-исследование аппроксимативных возможностей интерполяционных многочленов Лагранжа. В результате в задаче восстановления функций из классов с ограниченной (в Lp(0,1)) производной и ограниченной (в Lp(0,1)) разностью заданного порядка по конечной информации, полученной со всех возможных линейных функционалов, найден точный порядок предельной погрешности неточной информации, сохраняющий неулучшаемую скорость восстановления по точной информации, и одновременно теряющий это свойство при умножении ее (величины погрешности) на соответствующие члены последовательности, сколь угодно медленно возрастающей к бесконечности. Отсюда делается принципиально новый вывод всего численного анализа, теории функций и теории приближений, что многочлен Лагранжа необходимо использовать не глобально на всем отрезке, а локально в сплайн-форме. Это можно понимать как полную реабилитацию этого вычислительного агрегата 1795 года создания, в отношении которого качественная оценка <наилучшая среди всех мыслимых> никогда не применялась. Даются практические указания как по степени гладкости функции построить оптимальный лагранжевый интерполяционный сплайн.*