Исследованы алгебра многочленов, дифференцирования и матрицы Якоби. Доказаны: дифференцирование свободной алгебры является левым нильпотентным в лево-симметричной алгебре дифференцирований тогда и только тогда, когда оно является локально нильпотентным дифференцированием; дифференцирования с нильпотентными матрицами Якоби являются правыми нильпотентными; лево-симметричная алгебра дифференцирований свободной неассоциативной симметричной m-арной однопорожденной алгебры также порождается одним элементом; элемент лямбда[n] является левым нильпотентным тогда и только тогда, когда он является локально нильпотентным дифференцированием P[n]; если матрица Якоби J(F) является нильпотентной, тогда D[F] является правым нильпотентным элементом лямбда[n]; два хорошо известных систем свободных примитивных порождающих NSymm совпадают, соответственно, правым степеням D[F]{r} дифференцирования D[F] и коэффициентам формального обратного полиномиального эндоморфизма X+sF.*