Объект исследования: краевые задачи обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Цель: решение задач быстродействия и оптимального управления для ОДУ с ограничениями на управление и фазовые координаты. Доказаны необходимые и достаточные условиях существования решения краевых задач. Предложены конструктивные решения на основе метода проекции градиента в расширенном гильбертовом пространстве.