Выявлена причина некорректности задачи. Найдены необходимые и достаточные условия устранения некорректности. Доказана сильная разрешимость смешанной задачи для уравнения теплопроводности в гильбертовом пространстве. Показаны ограниченность и вольтерровость обратного оператора. Установлена сильная разрешимость смешанной задачи Коши - Дирихле для уравнения теплопроводности с отклоняющимся аргументом. Доказано, что корректность краевой задачи для параболического уравнения теплопроводности зависит от младшего члена уравнения.