Построен пример не разрешимого в целом абстрактного эволюционного уравнения, к которому при некоторых условиях может быть приведена система уравнений Навье - Стокса. Установлены достаточные условия разрешимости полупериодической задачи для модельного уравнения в частных производных второго порядка переменного типа с произвольным характером вырождения в пространстве. Найден критерий компактности резольвенты оператора. Получена асимптотика функции распределения чисел Шмидта. Доказана регулярность решения прямой задачи для системы Навье - Стокса с нестандартными краевыми условиями. Разработан математический аппарат для однозначной разрешимости обратной задачи для системы Навье - Стокса с нестандартными краевыми условиями.