Изучены пространства, связанные с аппроксимационными свойствами тригонометрических полиномов, отвечающих гармоническим отрезкам. Доказаны интерполяционные теоремы. Разработан интерполяционный метод обобщения вещественного метода Лионса - Петре. Получены прямые и обратные теоремы теории приближения, связывающие наилучшие приближения полиномами со спектром из гармонических отрезков и модуль гладкости. Даны оценки мажорант частичных сумм тригонометрических рядов Фурье. Исследована зависимость нормы конечномерного оператора от взаимного расположения положительных элементов соответствующих матриц. Построены квадратурные формулы, погрешность которых имеет явный вид через коэффициенты Фурье.