Исследованы развитие теории функциональных пространств переменной гладкости, аппроксимативные свойства и поперечники функциональных компактов переменной гладкости. Построены и исследованы методы приближенного восстановления классов операторов на этих функциональных компактах. Найден порядок приближения классов Никольского, Бесова тригонометрическими полиномами и М-членного приближения в пространстве со смешанной нормой. Установлены точные в смысле порядка оценки наилучших N-членных приближений функций из классов типа Никольского-Бесова и Лизоркина-Трибеля по кратной системе всплесков Мейера в метрике. Изучены приближение функций и восстановление операторов на классах Никольского-Бесова и Лизоркина-Трибеля периодических функций смешанной гладкости частными суммами из ряда Фурье по безусловному базису всплесков.*

Получена основная система уравнений, описывающая эволюцию дугового разряда. Разработаны критерии замены отдельных уравнений экспериментальными осциллограммами. Приведены условия корректности гибридной модели. Разработана математическая модель преддуговых процессов в контактах и в жидкометаллическом мостике. Проведен расчет влияния продолжительности мостиковой стадии размыкания на продолжительность существования металлической фазы короткой дуги. Проведена оценка особенностей трансформации дуги в тлеющий разряд в зависимости от параметров цепи и условий коммутации, критерии стабильности такой трансформации. Разработан метод расчета динамики переноса материала и итерационный метод для расчета коэффициента теплоемкости и теплопроводности материалов. Получены априорные оценки решения прямой и сопряженной задачи, аналитическое решение двухфазной задачи Стефана с заданным тепловым потоком, которое найдено в виде рядов по функциям Хартри, рекурентные формулы для вычисления коэффициентов этих рядов, сходимость которых доказана.*

Разработаны математические модели изотропной турбулентности, построенные на основе метода крупных вихрей. Исследован процесс естественной конвекции в замкнутом пространстве. Представлен анализ полученных результатов реализации задачи (бенчмарка) естественной конвекции в замкнутом пространстве. На основе решения трехмерного уравнения Навье-Стокса, уравнения неразрывности, уравнения Максвелла и закона Ома для движущихся сред произведено численное моделирование вырождения МГД-турбулентности. Определена закономерность взаимного влияния кинетической и магнитной энергии для жидкостей с разными электропроводящими свойствами.*

Исследованы процессы фильтрации и осаждения в многофазных дисперсных системах, нестационарного течения двухфазных сред в открытых каналах с учетом фильтрации воды и осаждения твердых частиц, методы решения краевых задач теории упругости неоднородной анизотропной среды. Разработана математическая модель нестационарного течения двухфазных сред в открытых каналах с учетом фильтрации воды и осаждения твердых частиц. Впервые исследованы предельные режимы фильтрации суспензии в гравитационном поле. Разработаны новые методы решения краевых задач теории упругости неоднородной анизотропной среды.*

Разработаны новые математические модели ряда технологических процессов гидродинамики в многоступенчатых каналах при диспергировании жидкости на капли, экстракции из полидисперсного растительного сырья, адсорбции углекислого газа из воздуха, агрегации групп. Они представлены в виде непрерывных и дискретных операторов, для них исследована разрешимость соответствующих уравнений, получены условия разрешимости, оценки погрешности численных алгоритмов и порядка аппроксимации соответствующих операторов. Формализация уравнений гидродинамики и тепло- массообмена в виде операторных позволяет повысить точность расчета технологических процессов.*

Исследованы дифференциальные и разностные уравнения, динамические системы. Решены три основных обратных задач стохастических дифференциальных систем с вырождающейся диффузией, обладающих заданным интегральным многообразием. Построены по заданным свойствам движения стохастические уравнения в форме Гамильтона и Биркгофа, решена стохастическая задача Гельмгольца с вырожденным лагранжианом. Методом функций Ляпунова получены достаточные условия устойчивости по вероятности интегрального многообразия дифференциального уравнения Ито первого порядка. Выявлено свойство конвергентности программного многообразия систем прямого и непрямого управления. Исследовано существование М-параметрических центральных многообразий (M>1) в разностных динамических системах с неаналитическими нелинейностями в банаховом пространстве. Разработан метод сведения дискретной многомерной динамической системы к одномерной. Введены обобщенные индексы экспоненциальной разделенности.*

Рассмотрена субриманова задача группы Ли SOLV+ с правоинвариантным распределением. Описан алгоритм вычисления основных топологических характеристик трехмерных тел, основанный на дискретизации теории Морса и использующий дискретные аналоги гладких функций, имеющих только невырожденные (морсовские) и простейшие вырожденные критические точки. Получены уравнения, эквивалентные уравнениям Кричевера-Новикова на дискретную динамику параметров Тюрина. С помощью этих уравнений построены примеры операторов, отвечающих спектральным кривым произвольного рода. Найдена система дифференциальных уравнений для уравнений геодезических на группе Ли SOLV+ с правоинвариантным распределением и левоинвариантной метрикой. С помощью первых интегралов доказана интегрируемость этой системы.*

Исследованы разрешимость и спектральные свойства краевых задач для дифференциальных операторов. Доказана базисность Рисса системы корневых векторов периодических краевых задач для обыкновенного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с симметричным потенциалом. Построены новые корректные нелокальные краевые задачи для уравнения Пуассона в шаре, являющихся многомерными аналогами периодических краевых задач. Доказана корректность начально-краевых задач для эволюционных уравнений с неусиленно регулярными краевыми условиями по пространственной переменной. Исследованы новые краевые задачи для волнового уравнения дробного порядка и для уравнения теплопроводности дробного порядка. В терминах углов подхода эллиптической части границы области к линии изменения типа уравнения найден критерий сильной разрешимости задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в пространстве Lp.*

Для дискретных сигналов и изображений специальных классов найдены оптимальный (в смысле поперечников Фурье) конечномерный линейный, конечнопараметрический нелинейный (наилучший N-членный) приближенные методы представления с сопутствующими точными порядковыми оценками. Получены конечномерные линейные приближенные методы представления непрерывных сигналов и изображений из некоторых специальных классов с помощью спектральных разложений и относительно различных систем сплайн-всплесков. Для непрерывных сигналов и изображений из некоторых специальных классов получены точные представления в подходящем пространстве Лоренца-Зигмунда по ортоподобной системе с условиями принадлежности этому пространству в терминах коэффициентов указанных представлений. Установлено неравенство разных метрик для полиномов по ортоподобной системе в пространстве Лебега. Найдены оценки сверху наилучшего приближения класса типа Никольского-Бесова полиномами по счетной ортоподобной системе, в пространстве Лебега, оптимальные нелинейные алгоритмы приближенного представления. Созданы тестовые программы для проведения вычислительных экспериментов. Рассмотрено разложение функции двух переменных по произведениям двух счетных ортоподобных систем.*

Исследованы разрешимость дифференциальных уравнений для обобщенных голоморфных векторов (ОГВ) и обобщенных аналитических векторов (ОАВ) и краевых задач в пространствах Бесова, вложенных в класс непрерывных функций. Обоснована разрешимость однородного и неоднородного скалярных уравнений Бельтрами в рассматриваемых пространствах Бесова. Получены обобщенные интегралы типа Коши для ОГВ и ОАВ и формулы их граничных значений, обобщающие классические формулы Сохоцкого-Племеля для аналитических функций комплексной переменной. Эти формулы существенны для изучения разрешимости краевых задач. Получены условия разрешимости краевых задач Гильберта и Римана-Гильберта для ОАВ, формулы индекса в пространствах Бесова. Рассмотрены солитонные решения нелинейных дифференциальных уравнений математической физики размерности (1+1) и (2+1). Дано геометрическое описание модельных космологических уравнений в пространстве времени с искривленной кривизной, для одного канонического уравнения построено точное солитонное решение. Для обобщенного уравнения Ландау-Липшица получена поверхность, описывающая решение доменной стенки. Построены солитонные решения различных вариантов нелинейных дифференциальных уравнений типа Шредингера.*